教學大綱 Syllabus

課程概述 Course Description：

教學目標 Course Objectives：

教學內容 Course Outline：

淺介國中數學領域素養導向教學設計

                                  左太政/高雄師範大學數學系

壹、數學領域綱要之特色與重要內涵解析

  數學的學習需涵蓋學習數學知識及其應用，國中階段的應用層面以學生生活情境及結合現代科技的運用為主，此為數學素養之概念。

一、 數學領域之基本理念

     (一) 數學是一種語言，宜由自然語言的題材導入學習

         數學的發展是融入自然語言的生活經驗，無論是數量、形狀及其相互關係的描述，都是生活中常見的用語。數學連結文字

         及符號語言，能夠以簡馭繁，用簡明的公式與理論，解釋各種繁雜的現象；因其精確，可以適時彌補自然語言的不足。數

         學更是演算能力、邏輯訓練、抽象思維的推手。數學教學應該盡可能保持學習自然語言的方式，透過實例的操作與解說，

         精熟概念與演算之後，再逐步進入抽象理論的學習。

     (二) 數學是一種實用的規律科學，其教學宜重視跨領域的統整

         數學實用的例子甚多，例如：比例可用於各種錢幣的兌換及各種溶液百分濃度的稀釋；利用質數的性質發展出來的加密系

         統(例如RSN密碼)，能夠大幅提高資訊傳輸的安全；指數定律用來協助計算銀行利息的複利、闡明生物成長的速度、計算

         周期元素的半衰期等；統計用於對未知世界的預測以及分析大數據等等。數學應用既是跨領域的，其教學也宜重視跨領域

         的統整。

     (三) 數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感

         教學可融入數學史，增進學生人文素養。

     (四) 數學應提供每位學生有感的學習機會

         適時進行差異化教學及課程規劃，提供每位學生每節課都有感的學習活動機會。對於學習緩慢的學生，可以降緩教學速

         度，僅著重最基本的內容。對於學習超前的學生，可以設計加深、加廣、專題探究等各類課程，激發學生學習動力。對於

         學習落後的學生，應規劃補救教學，及時補救。

     (五) 數學教學應培養學生正確使用工具的素養

         工具對於數學教學助益極大。除了傳統教具如圓規、三角板、方格紙等，

         資訊時代的計算機（calculator）、電腦（computer）、網路、多媒體、行動

         工具等都是有用的學習工具。

  二、 課程目標:

     (一)提供所有學生公平受教、適性揚才的機會，培育其探索數學的信心與正向態度。

     (二) 培養學生觀察規律、演算、抽象、推論及溝通等各項能力。

     (三) 培養學生使用工具，運用於數學程序及解決問題的正確態度。

     (四) 培養學生運用數學思考問題、分析問題和解決問題的能力。

     (五) 培養學生日常生活應用與學習其他學科所需的數學知能。

     (六) 培養學生欣賞數學的人文內涵中，以簡馭繁的精神與結構嚴謹完美的特質。

三、國中領綱核心素養面向

    在課程設計上，核心素養是十二年國教的總體目標，由全體的學科領 域共同達成。各

     領域可因其學科特色與學習階段需要，選取其中幾項的核心素養，進一步具體轉化為

     領域的「學習表現」與「學習內容」，不需要對應所有的 核心素養項目。

         課程發展以核心素養做為主軸，它是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，

     所應具備的知識、能力與態度。數-A1、 數-A3、數-C1、數-C2 為跨階段之核心素

     養，具體展現在「實施要點」的「教學實施」項下， 以彰顯數學素養培養的理念。

 (一)數學教學應培養學生正確使用工具的素養工具對於數學教學助益極大。除了傳統教具如

    圓規、三角板、方格紙等，資訊時代的計算機（calculator）、電腦（computer）、網

    路、多媒體、行動工具等都是有用的學習工具。我國即使在最基本的計算機教學，都遠

   遠落後於世界各先進國家，因此，本次課綱修訂，重視計算工具的有效運用。計算工具教

   應從計算機開始，逐漸引導學生使用各種高階工具。數學是一種規律的科學，計算機及電

   腦可以協助落實探究活動，惟因計算機的計算有一定的誤差，應強調其使用時機及侷限，

    培養學生使用計算機的正確態度。學生在熟練計算原理後，為避免繁複計算而降低學習

    效率，可適當使用計算機，執行複雜數字、統計數據及三角比的計算。實施時機以國民

    中學及高級中等學校教育階段為宜。教師可在適當時機使用電腦輔助教學。

  (二) 數學領綱核心素養面向

    A、自主行動: 

    A1 身心素質與自我精進

    數-J-A1 對於學習數學有信心和正向態度，能使用適當的數學語言進行溝通，並能將所學應用於日常生活中。

    A2 系統思考與解決問題

     數-J-A2 具備有理數、根式、坐標系之運作能力，並能以符號代表數或幾何物件，執行運算與推論，在生活情境或可理解的想像情境中，

              分析本質以解決問題。

     A3 規劃執行與創新應變

     數-J-A3 具備識別現實生活問題和數學的關聯的能力，可從多元、彈性角度擬訂問題解決計畫，並能將問題解答轉化於真實世

            界。

     B、溝通互動

      (1) B1符號運用與溝通表達

        數-J-B1 具備處理代數與幾何中數學關係的能力，並用以描述情境中的現象。能在經驗範圍內，以數學語言表述平面與空間的基本關

               係和性質。能以基本的統計量與機率，描述生活中不確定性的程度。

       (2) B2科技資訊與媒體素養

        數-J-B2 具備正確使用計算機的素養，包含知道其適用性與限制、認識其與數學知識的輔成價值、並能用以執行數學程序。能認識統

          計資料的基本特徵。

       (3) B3藝術涵養與美感素養

         數-J-B3 具備辨認藝術作品中的幾何形體或數量關係的素養。並能在數學的推導中，享受數學之美。

      C、社會參與:

        C1 道德實踐與公民意識

        數-J-C1 具備從證據討論與反思事情的態度，提出合理的論述，並能和他人進行理性溝通與合作。

        C2人際關係與團隊合作

         數-J-C2 具備樂於協助他人及與人合作解決數學問題的素養

         C3多元文化國際理解與

          數-J-C3 具備敏察和接納數學發展的全球性歷史與地理背景的素養

四、學習重點

 學習重點由「學習表現」與「學習內容」兩個向度所組成。學習重點用以引導課程設計、教材發展、教科書審查及學習評量等，並配合教學加以實踐。

(一) 學習表現

 學習表現強調以學習者為中心，重視認知（求知、應用、推理）與情意態度（賞識）的學習

 展現，代表「非內容」向度，具體展現或呼應核心素養。

 專有名詞:

  1.認識、理解、熟練

  (1)「認識」包含察覺、認識；

  (2)「理解」包含辨識、概念連結、理解；

  (3)「熟練」包含可做應用解題、推理，以及程序課題上的熟練。

    如果一個數學概念在一個階段可完成，學習表現以較成熟的學習階段來描述。因此如果

    學習表現只有「理解」沒有「認識」，則表示「認識」已完成，或「認識」與「理解」

    必須在同一階段完成。

   2.情境

    學生在理解概念或規律，以及解題應用時，經常需要連結於某經驗脈絡中，既學生在理

    解概念或規律，以及解題應用時，經常需要連結於某經驗脈絡中，既可協助學習，亦有

    益於日後應用。課程綱要中常用到的情境，一種泛指這些經驗的脈絡特徵，例如：生活

    情境、具體情境。另一種則指某核心類型的學習經驗，例如：平分情境、測量情境。

  3. 具體情境

    (1) 學生在學習時，經常需要先有恰當的範例、應用來提示與引導，這些情境泛稱為具

         體情境（對應於「認識」與「理解」）。

     (2) 從第三階段起，學生學習數學所依賴的具體情境，就不限於生活情境。例如：學生

          在五、六年級學因數、倍數或質數課題時，最恰當的具體情境，就是學生對整數

         性質的熟悉，而非日常生活的問題。從第四階段起，具體情境甚至包括數學或其他

         領域的局部理論。

   4.解題

    在課程綱要中，數學的解題泛指能應用數學概念與程序，解決日常、數學、其他領域的

    應用問題。解題過程包括了解問題意義、選擇可能之策略、轉換該策略為數學問題、

   5.操作活動

     操作活動泛指由操作中察覺、形成概念，甚至簡單連結各概念的各種活動。

   6.報讀

    泛指資料的閱讀，因此包括能正確理解資料呈現方式（表格、統計圖），也能回答關於

    資料的直接問題與簡單延伸的問題（如和其他數學概念連結的問題）。

   學習表現依學習階段編寫，學習階段的劃分方式如下：國小一至二年級（低年級）為第一

   學習階段、三至四年級（中年級）為第二學習階段、五至六年級（高年級）為第三學習階

   段、國中一至三年級為第四學習階段、高級中等教育一至三年級為第五學習階段。其編碼

   方式如後所述。

   第1碼為「表現類別」，分別以英文小寫字母n（數與量）、s（空間與形狀）、g（坐標幾

      何）、r（關係）、a（代數）、f（函數）、d（資料與不確定性）表示。其中r 為國小

      階段專用，到了國、高中之後轉換發展為a和f。

   第2碼為學習階段別，依序為I（國小低年級）、II（國小中年級）、III（國小高年級）、

        IV（國中）、V（高級中等教育）。

   第3碼為流水號（教科書在同一階段可以不依照流水號順序編寫）。

(二) 學習內容: 為方便參照，各學習內容之末列出對應的學習表現。

1. 學習內容涵蓋數學基礎重要的事實、概念、原理原則、技能與後設認知等知識，學校、地

  方政府或出版社得依其專業需求與特性，將學習內容做適當的轉化，以發展適當的教材。

2. 學習內容的編碼方式依年級編寫:

  第1碼為「主題類別」，分別以英文大寫字母N（數與量）、S（空間與形狀）、G（坐標幾

       何）、R（關係）、A（代數）、F（函數）、D（資料與不確定性）表示。其中R 為

       國小階段專用，到了國、高中之後轉換發展為A和F。

  第2碼 為「年級階段」別，依年級區分，依序為1至12年級，以阿拉伯數字1至12表示。11

        年級分11A與11B兩類，12年級加深加廣選修課程分12甲與12乙兩類。

  第3碼 為流水號。

 3.學習內容注意事項

  7-12年級的學習內容，已從九年一貫97年課程綱要與高中95/99課程綱要中刪除、以及未列

  入現有內容且較難者，不可在教科用書呈現。若有必要，僅可列入教科用書之教師手冊，

  提供教師對學習超前的學生補充時參考；教師運用此補充資料時，應考慮教學時數與教材

  的脈絡。

 4.學習內容加註符號之意義

   7-12年級的一部分學習內容條文及補充說明有※、★、＃之標註，其意義如下：

   ※ 為進階或延伸教材，教師宜適當補充，建議不納入全國性考試的範圍。

   ★ 建議不列為評量的直接命題對象，可融入其他課題的評量之中。

   ＃ 不必設置獨立的教學單元，宜融入適當課題，在合理脈絡中作教學

 5. 學習內容補充說明(依年級排序)

  以108課綱國中數學領域新增三項學習內容為例說明(刪除直角三角形的三角比):

1. S-7-2三視圖：立體圖形的前視圖、上視圖、左（右）視圖。立體圖形限制內嵌於

     的正方體且不得中空。

 (2) N-8-6等比數列：給定首項、公比計算等比數列的一般項。

               ※由一般項反求首項、項數或公差。

      【註】: 不處理「由一般項反求首項、項數或公比」。

 (3) S-9-13 空間中的線與平面：長方體的示意圖，利用長方體作為特例，介紹線與線的平

         行、垂直與歪斜關係，線與平面的垂直與平行關係、平面與平面的垂直與平行關係

      【註】: S-9-13僅教授「面與面的平行與垂直」，並且以操作活動為主。本條目則新增

                   空間中的線與線的垂直、平行、歪斜，以及「線與面的平行與垂直」，

                   且以理解數學概念為主

 (4) S-9-5 直角三角形的三角比：對直角三角形的一個銳角定義 「斜邊」、「鄰邊」、「對

          邊」，並引入符號 tan A、sin A、 cos A；直角三角形內，給定一邊的長和一個

          銳角的角度， 決定另一邊的邊長；學生無使用計算機時，角度限於 30 度、45

          度、60 度。

   【註】: S-9-5 建議由特殊直角三角形 30-60-90 及 45-45-90 的直角三角形引 入日常生

活中常見的「坡度」與邊長比固定，來定義 tanA 的 值，再延伸至 sinA

與 cosA。使學生熟悉基本定義即可，勿過度 延伸、勿介紹三角函數的中

文命名。

 五、課程發展

  課程發展依學生需求調整，對於學習緩慢的學生，可以降緩教學速度。對學習超前的學生，

  可以設計加深、加廣的課程、專題探究各類課程。對於學習落後的學生，應規劃補救教學，

  及時補救。

 六、教材編寫

  (一) 學習內容的安排以清楚呈現某組數學概念為原則，並非一條目對應一教學單元，教科

     書在同一年級可以不依照學習內容的流水號順序編寫。7-12 年級部分學習內容條文及

     補充說明有※、★、＃之標註，教科用書編寫時應充分掌握其意義，並且在書內標明、

      解釋清楚。

  (二)國民中學初次介紹計算機，宜有專門單元以實例說明計算機的特性與易犯錯誤。教材

     應該讓學生明白，計算機及電腦的數值計算會因有效位數的限制而有一定的誤差，以

     及計算機操作時可能發生錯誤與誤差，如鍵入錯誤、程序錯誤、有效位數不足等問題。

      教師手冊中亦可強調，教師應該在學生先有描點繪圖的經驗後，才以電腦繪圖加強觀察

      函數圖形的特徵，並解釋其意涵。

  (三) 教科用書之編寫可適當編入數學史、民族數學及數學家介紹，以引發學生興趣、培養

      其欣賞數學發展的素養，並了解不同性別者的成就與貢獻。

  (四) 教科用書之選用應考量學生程度之適切性，必要時，教師可以自編教材。

七、教學實施

   (一)學習重點的訂定，以該階段或年級結束時，學生應具備的數學素養為考量。

   (二)課程綱要的制定，並未預設特定的教學法，教師應能依學生的年齡、前置經驗、

      授課主題特性與教學現場的狀況，因時制宜，採用能提供學生充分有意義學習的

     方法，順暢地進行教學，例如：合作解題、探究教學等有效的教學方法。

   (三) 數學教學應注重數、量、形的聯繫，讓學生在實作、實測與直覺中，精熟數、

       量、形及其相互關係的概念，並逐步抽象化與程序化成為精鍊有效的數學語言，

       再經由反思、論證、練習與解題，讓學生逐步穩定，達到精熟學習，掌握其概

       念，作為進一步學習的基礎。

   (四) 當學生學習數學時，在生活應用解題與抽象形式能力兩課題間，必須來回往返

       地相互加強，才能真正順利地發展數學能力。

   (五)教師應將學生的錯誤視為學習歷程，診斷學生發生問題的根源（例如：語言未溝

      通、肆意擴張約定、推理的謬誤等），並針對問題協助學生。

   (六)為落實培養學生使用計算機能力，學生在國民中學教育階段時，應具備標準型

       計算機，教師亦需配合數學課程綱要內容，教導學生正確使用計算機的方法及態

       度。

   (七)教師在教學過程中可適當介紹數學史、民族數學及數學家，引發學生興趣、

        培養其欣賞數學發展的素養，但不可將這些內容納入評量。

   (八) 教師可運用數學奠基與探索活動，鼓勵學生利用數學解決生活中的實際問題。

        數學教師可協同其他領域教師，發展出各領域使用數學的實例，幫助學生建立

        其他領域所需的數學素養。

八、教學資源

    (一) 教學時應適度使教學器材，協助學生視覺及思維上的理解，增加教學效果。

    (二) 教學器材以自製為優先，簡易的器材可由師生彈性就地取材設計，複雜的器

        材應由學校提供，必要時得成立教具室。

    (三) 數學是一種規律的科學，其探究的過程須操作大量的數字（數學語言的基本

        詞彙），所以應該具備操作計算機的能力，以落實數學的探究活動。

      計算機教學應重視，培養學生正確使用計算機的態度；應該讓學生明白，計算

     機及電腦的數值計算都因為有效位數的限制而有一定的誤差，在應用上要了解此

     侷限性的可接受度；並應該讓學生了解，計算機操作時所可能發生的錯誤與誤差，

     如鍵入錯誤丶程序錯誤、有效位數不足等問題。在前述之基礎上，學生可使用計

     算機解決問題或協助驗算，並搭配心算與概算，覺察計算結果的合理性，強化學

     生的數字感。

 九、教學評量

   (一) 評量有多種方式，譬如紙筆測驗、實作、討論、口頭回答、視察、作業、專題

       研究或分組報告等。教師 宜視教學現場需要，選擇適切的評量方式。

   (二) 除了總結性評量之外，教師應於課堂教學運用形成性評量探查學生的學習情況、

       學習困難以及與學習目標之間的落差，即時給予學生回饋或調整教學，以促進

       其學習。

   (三) 在學習評量中，不宜出現高難度的問題。學習內容補充說明與《課程手冊》(配

       合課綱而發展出來)的建議， 可作為教師命題難度的參考。

   (四) 本次數學課程綱要的重要變革之一，在於強調培養學生使用計算機的能力及正

       確態度，全國性測驗評量宜參考國際上類似考試，准許學生攜帶標準型計算機

       進入考場，用以解題與作答。另外，其他學生常用的器材，例如直尺、量角器、

       圓規等，亦宜參考國際上類似考試，准許學生帶入考場；出題的技術上，附圖

       可以用示意圖呈現， 並在其旁註明為示意圖。  

貳、數學素養導向教學設計

「素養導向教學」實則包含兩大意涵：一方面是指培養數學素養，另一方面，則指促進總綱三面九項核心素養 （如系統思考、規劃創新、團隊合作⋯）。教師進行素養導向教學設計時，除了要思考所設計的學習活動如何有助於 「總綱核心素養」的達成，也要參照數學領域課程綱要中的「領域核心素養」，亦即如何透過數學領域的內涵來體現、落實總綱核心素養的精神。教師的課程與教學設計， 可以彈性選擇適當的學習重點（學習內容與學習表現），以協助學生具備並精進三面九項的核心素養。

四、素養導向教學設計參考流程

1.選擇一個學習單元。

2.此單元價值定位(不可或缺的理由或先備知識+未來銜接)。

3.呼應的領綱或總綱核心素養。

4.撰寫單元目標。(價值定位＋領綱核心素養)

5.設計總結性表現任務。

6.列出架構節次。(n節課)7.擇定一節課，選出學習重點，轉化為學習目標。

8.設想連結的情境脈絡 (打開經驗世界∞發展抽象能力)

9.設計學習活動及形成性學習評量。

10.與素養導向教學四大原則的呼應或開展。

五、素養導向教學設計實作項目

教學活動設計版面:

(一)單元

單元名稱/領域/年級

價值定位

領域核心素養

單元目標

表現任務

架構節次

(二)選定節次

學習表現

學習內容

學習目標

情境脈絡

(三)學習活動

(四)學習評量

六、單元構思

1.選擇一個完整意義的單元。

2.此單元不可或缺的理由-價值定位。

3.挑選呼應的領綱核心素養。

4.結合前二者，敘寫單元目標。

5.設計總結性表現任務。

6.列出單元架構、節次。

七、素養導向課程與教學設計四點基本原則

 (一) 連結實際的情境脈絡，讓學習產生意義

      素養導向教學強調知識與情境脈絡之間的連結，在課程與教學中並不排斥學科內容，

      而是強調透過與情境脈絡的連結，來建立學習意義，並有助於將所學應用到所需要的

      情境。

      例如以「比與比值」這一單元為例，比與比值的概念與運算當然包括許多數學符號與

       關係的理解，但若能鋪陳一個脈絡、情境，讓學生知道：什麼樣的情況下會用得到比

     與比值？利用這些比值概念是要因應什麼問題或情境？將會有助於學習，也使得學習更

    有意義。

 (二) 強調學生參與和主動學習，得以運用與強化相關能力

     素養的養成不單是指學習某些知識內容，更強調要具備能力與情意面向，是一種綜合

      性表現。素養導向的課程與教學，強調學生中心，而非教師中心，更重視學生的參與

      與主動學習。從課程設計的角度來說，更重視歷程模式所強調的，如學生在歷程中所

      學到的主動、參與、嘗試、探究、討論、尊重、反思、選擇等。

      　以「A2系統思考與解決問題」為例，應不只是記住思考的原則或方法，而是要親自

      經歷思考與解決的實踐經驗；「規劃執行（A3）」與「溝通表達（B1）」也很難透過講

      授與聆聽的傳統教學方式來達成，仍需要有學生的實際參與，從行動中學習與精進。

 (三) 兼顧學習的內容（學習內容）與歷程（學習表現），以彰顯素養乃包含知識、

     技能、情意的統整能力

         核心素養的課程與教學可以融入於各學科當中，透過適當的教材或教法，並兼顧

      數學領域的「學習內容」或「學習表現」，以促成學生在知識、技能與情意面向的均衡

      統整。

 (四) 針對不同核心素養項目，應有不同設計重點

     　   總綱中所列核心素養共有三面九項，這些項目的內涵不盡相同，為了引導學生培

      養這些核心素養，應該有不同的教學重點，而不只是前述有關教學歷程的一般性原

      則。例如，促成「媒體素養（B2）」與促成「國際理解（C3）」的課程設計應是有所不

      同的。若是為了增進學生的「媒體素養（B2）」，可適當地提供媒體素材，再加上教學

      過程中討論與分析。若為了強化學生的「國際理解（C3）」，可以在課程中加入國際

       元素，或設計國際交流活動，則更為貼切。

　從上述四個原則看來，素養導向教學強調情境脈絡的連結、學生的主動與參與、 關照認知技能情意的統整、並能針對不同素養項目能有適當的調整。

八、素養導向教學設計注意事項

(一) 教案的格式不一，各有重點與功能。但教案若要強調核心素養，建議能在教案中加上

   「呼應核心素養之說明」乙項，以說明該教案中的哪個部分、哪些活動、哪些設計是用以

    促進哪幾項核心素養之養成。

(二) 素養導向的教案設計，強調教學應能強化其情境脈絡的連結，使學生不僅透過實際的情

    境脈絡來學習數學內容，也能將所學的原理原則應用、實踐到情境脈絡去。因此，情境

    脈絡的鋪陳，乃成了教學設計的重要元素。教學活動設計中 是否連結了適當的情境或脈

    絡？情境脈絡的設計是否導向或促進教學目標的達成？都應該是教案呈現的重點。

(三) 素養導向設計重視學生主動學習的角色，教案的敘寫不應只有知識能力的表述，而要能

    考慮到學生的學習動機、且是否有設計並提供讓學生有探索的機會？並透過學習歷程，

    能促進學生溝通表達、團隊合作、問題解決...等能力。在撰寫教案時，應該不只是「認

     識」，而建議可以更強調「理解」、 「分析」、「探索」、「發表」...等等，以便

     能體現核心素養的精神。

 (四)每一個單元的教學目標不同，未必設計教學活動都得涵蓋核心素養的養成。教師得考量

    教材內容與學生需求，挑選適當的教學單元來加以規劃即可。

單元名稱:最大公因數與最小公倍數（數學領域/七年級）數養導向教學設計

 設計說明:

1.「最大公因數和最小公倍數」這一份教學設計案主要在培養「數-J-A2」的核心素養。從國小學過的二數最大公因數和最小公倍數的先備經驗出發，在生活情境中引 導學生探索三數最大公因數和最小公倍數的本質，讓學生轉化實際情境問題至數學 問題。一開始以列舉法解題，最後收斂至以短除法解決相關的問題，發展數系概念 和運作能力。

2. 第二節課設計讓學生以列舉法解決80、280、840三數的公因數和最大公因數問 題，以及求出12、16、18三數的公倍數和最小公倍數問題。由於數字相當大，學生 必須有系統地列出可能的解答。他們會發現使用列舉法雖然容易，但是，在處理較 大數字時相當耗費時間與心力，而且也容易出錯。這時候短除法的學習需求就出現 了，讓學生感受到短除法的用處和威力，欣賞數學以簡馭繁的美感(數-J-B3)。

3. 學習單以文字、數字、圖形等多元表徵方式呈現，幫助學生理解題意以及在解題時 有可供參考的鷹架。

4. 最大公因數與最小公倍數的學習是為了有效率處理複雜分數運算的問題，教材在第 三節聚焦處理三個分數加減運算問題。 5. 更重要的是，教材的任務設計本身就是形成性評量，讓教師可即時了解學生的學習 需求和學習差異，進行差異化教學和補救教學。

 （取自國家教育研究院助理研究員鄭章華）

教學設計內容(原設計者: 花蓮縣富北國中　余采玲、潘金龍、張凱倫)

單元名稱:最大公因數與最小公倍數

一、價值定位:

(一) 國中小階段學習的因數與倍數概念是分數運算的先備基礎，亦與往後解方程式的課程有很大關聯。尤其學生在進行因數與倍數文字題解題時往往是用猜測方式誤 用最大公因數或最小公倍數進行解題，而產生解題困難與習得無助感。

(二) 協助學生覺察數學與日常生活的聯結，有助於數學概念意義化的學習。故提供一個貼近真實生活的問題情境，有助於學生透過探索的過程而獲得系統性的思考；其獲得的知識，是情境互動下的產物亦是數學有效學習的關鍵。

二、 數學領域核心素養展現說明：

　　本單元藉由國慶日閱兵典禮表演隊形轉換，以及三個朋友定期運動的情境，引導學生複習小學學過的公因數與公倍數概念，並進入現階段學習任務，引導學生解決三 數的最大公因數與最小公倍數問題。再則，改編104年會考題目，整合相關概念，讓學生思考與討論如何運用本單元的方法於數學情境找出合理的答案。由以上過程引導學生達成「A2.系統思考與問題解決」的核心素養。其次，引導學生發現，在尋找公因數與公倍數時，短除法比列舉法更能有效率的解決問題，藉以引導了解數學的簡潔美感，而能達成「B3. 藝術涵養與美感素養」。

三、設計者

花蓮縣富北國中 余采玲、潘金龍、張凱倫 

實施年級 七年級 總節數 共4節，180分鐘

單元名稱: 最大公因數與最小公倍數

四、總綱與領綱之核心素養

 A2.系統思考與問題解決

 數-J-A2： 具備有理數、根式、坐標系之運作能力，並能以符號代 表數或幾何物件，執行

           運算與推論，在生活情境或可理 解的想像情境中，分析本質以解決問題。

 B3.藝術涵養與美感素養

 數-J-B3： 具備辨認藝術作品中的幾何形體或數量關係的素養。並能在數學的推導中，享受

           數學之美。

五、學習重點

(一)學習表現

  n-IV-1： 理解因數、倍數、質數、最大公因數、最小公倍數的意義及熟練其計算，並能

           運用到日常生活的情境解決問題。

(二)學習內容

  N-7-2： 質因數分解的標準分解式：質因數分解的標準分解式，並 能用於求因數及倍數的

         問題。與其他領域/ 科目的連結

教材來源 康軒第一冊、維基百科

教學設備/資源: 學習單、小組用白板及白板筆

六、學習目標

    1.能把現實生活問題轉換成求解三數最大公因數和最小公倍數問題，並能理解和掌握以

      短除法解決此類的問題。 2. 運用正因數乘積、列舉法、短除法、質因數分解及標準

      分解式等方法，以簡馭繁 處理複雜分數計算問題。

七、教學活動設計

參考資料:

周淑卿、吳璧純、林永豐、張景媛、陳美如(2018)。素養導向教學設計參考手冊。教育部國

    民及學前教育署出版。

教育部(2018)。十二年國民基本教育課程綱要--國民中小學暨普通型高級中等學校-數學領

    域。台北市:教育部

教育部(2018，9月)。十二年國民基本教育課程綱要--國民中小學暨普通型高級中等學校-議

    題融入說明手冊。台北市:教育部

教育部(2018，11月)。十二年國民基本教育課程綱要--國民中小學暨普通型高級中等學校-數

     學領域課程手冊(初稿)，更新第六版。台北市:教育部

十二年國民基本教育數學素養教材研發編輯小組(2017)。十二年國教數學素養導向課程設計

    與教學案例。單維彰、鄭章華主編，初版。新北市:國家教育研究院。

鄭章華、單維彰(n.d.)。素養導向之數學教材初探

參考文獻

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林碧珍、蔡文煥（2006）。TIMSS 2003 國小四年級學生的數學成就及其相關因素之探討。

    載於張秋男（主編），TIMSS 2003 國際數學與科學教育成就趨 勢調查國家報告（123-161 頁）。臺北市：國立台灣師範大學科學教育研究 中心。

林福來、單維彰、李源順、鄭章華（2013）。十二年國民基本教育領域綱要內容前導研究」

    整合型研究子計畫三：十二年國民基本教育數學領域綱要內容之前導研究研究報告（編

    號：NAER-102-06-A-1-02-03-1-12）。新北市：國家 教育研究院。

洪裕宏 (2008)。界定與選擇國民核心素養:概念參考架構與理論基礎研究。行政院國家科學委

    員會專題研究計畫成果報告(NSC 95-2511-S-010-001)。臺北市: 國立陽明大學。

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張芬芬、陳麗華、楊國楊 (2010)。臺灣九年一貫課程轉化之議題與因應。教科書研究，

    3(1)，1-40。

翁穎哲、譚克平(2008) 。設計研究法簡介及其在教育研究的應用範例。科學教育月刊，

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教育部 (2014)。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北市：作者。

教育部 (2015)。十二年國民基本教育數學課程綱要。取自： http://12basic-forum.naer.edu.tw/?q=node/70

國家教育研究院 (2014)。十二年國民基本教育課程發展指引。新北市：作者。

蔡清田、陳延興 (2013)。國民核心素養之課程轉化。課程與教學季刊，16(3)， 59-78。

附錄:參考自鄭章華、單維彰。素養導向之數學教材初探。 

指數律：七年級

由於數學素養的培養著重在學生能把日常生活問題轉換成數學問題求解，再把解答應用於日常生活情境，因此單元編寫老師希望透過與生活經驗的連結，以許多人熟悉在棋盤格子上放米粒的故事，引導學生協助國王解決紀錄的問題，進而發現次方的意義。藉由學生熟悉的十進位的位值與位名，在個、十、百、千、 萬、億及兆的理解基礎下，進行以10為底數的乘法、除法運算，發現同底數的 相乘或相除的指數律。最後，透過計算機的使用，讓學生認識科學記號；並藉由 前面學到的指數律，用以比較數字大小。    

   本單元的設計與傳統教材不同之處，在於以國王的棋盤故事脈絡貫串整個課程（如圖四），第一節與最後一節都是在討論米粒數的計算(以 2 為底數)。並不多做代數符號的計算或記錄，而是引導學生自行探索與發現，再由教師說明。 的意義，限制在指數n為自然數，底數 a 為正數。以往部分教材會將指數律與科學記號分在不同的單元教授，但是由於教材限制指數 n 為自然數，並引進計算機，因而可結合很大的數用科學記號表示，讓學生藉由以 2、10 為底數間不同的轉換來做大小的估算比較。最後，將棋盤故事收尾的時候，教師安排了非常實際的問題：那些米，將會有多重？台灣要花費幾年的時間才能生產出來？

附錄、數感(Numeracy, or number sense) 談數字之

一、緒言：數學奇才 PAUL ERD S 的故事

Paul Erdos （匈牙利，1913-1996）專長於組合、圖論與數論，學術論文有1475篇。尤其對數論有極大貢獻，是近代偉大數學家之一。

二、美妙的質數：

1. Russia 數學家Christian Goldbach 於 1742 年提出著名的 Conjecture:

  「任意大於 2 的偶數必可表為兩個質數之和」，迄今未必解決。

1. 於 1845 年 Bertrand 提出 conjecture:

「當 n > 3 時，必有一質數介於 n 與 2n 之間」，於 1850 年首先由 Chebyshev  使用「 （ ）/ ，  當 n  」結果證明了這個性質，但卻未 給出極限存在之證明。直至 Chebyshev 逝世二年後才由 Hadamard 和 de la Vallee Possin 給完整證明。但當 Erdos 在 18 歲時，便以漂亮的簡易方法證明此性質。

1. Erdos 證明：Prime Number Theorem「小於正整數 的質數個數正好與

的極限值相同當    時」。但卻被他的同事 Atle Selberg 搶先發表，由此人享有該成果的絕大部分功勞，更因此於 1950 年獲得 Fields Medal。質數定理最先由 Gauss 提出，卻未給證明，是第一個預測質數分部的公式。

1. 質數的分布圖：Erdos 的一位合作學者 Stanislaw Ulam 曾從 1 開始，由內向外以逆時鐘方向排列連續正整數，

 67  38  17  16  15  14  13  30  55  88

             68  39  18   5   4   3  12  29  54  87

             69  40  19   6   1   2  11  28  53  86

             70  41  20   7   8   9  10  27  52  85

             71  42  21  22  23  24  25  26  51  84

             72  43  44  45  46  47  48  49  50  83

   由上表可觀察到質數都排列在一條條對角線上。Euler（Switzerland,1707-1783）

   曾提及質數的二個公式：

（1） ，當  時，這些數都是質數，正好與上圖中主對角線上的數相吻合。但當  時得到合數 。

（2） ，當  時，這些數都是質數，正好與上圖中主對角線上的數相吻合。但當  時都是合數。

三、魯斯-阿倫數對（Ruth-Aaron pairs）

1.貝比 魯斯（Ｂabe Ruth,1895-1948）自1914年至1935年在美國職棒大聯盟曾打過 Boston Red Sox, New York Yankees, Boston Braves, 於1935年締造全壘打 支記錄；於1936年入選 The Hall of Fame by BBWAA。

2.漢克 阿倫（Hank Aaron, 1934-）自1954年至1976年在美國職棒大聯盟曾打過 Milwaukee and Atlanta Braves, Milwaukee Braves,於1974年創下全壘打 支；他締造美國職棒全壘打紀錄：755支，於1982年入選 The Hall of Fame by BBWAA。

　　3.喬治亞大學教授卡爾 帕默蘭斯發現這二數的乘積正好是前七個質數的乘積：

　　　　且這二數的質因數之和又正好相等，即：

　　默蘭斯將具有這種性質的二連續正整數稱作「魯斯-阿倫數對」；這種數對　　　　　　　　　　　　　　　　在使用電腦搜尋 以內，只有 對魯斯-阿倫數對，其中最小的是 和 ，最大的是 和 。由 Erdos　證明這種魯斯-阿倫數對有無限多對。

四、史密斯數：起源於一個電話號碼

　 1、在1982 年Lehigh University 的艾柏特 韋蘭斯基（Albert Wilansky發現其姊夫史密斯（H. Smith）的電話號碼有一個特殊的性質，即「它的各個數字之和正好等於它的質因數的各個數字之和」。史密斯的史密斯是 493-7775，

,

此號碼的數字和為

此號碼的各質因數之數字和為 。

　   凡是具有這樣性質的正整數稱作「史密斯數」，例如 　都是史密斯數，已知最小的史密斯數是4。

   2、University of Puerto 的 Sham Oltikar 和 Keith Wayland 發現可利用數字均是 1 的質數來構造史密斯數；即11 和 1,111,111,111,111,111,111 都是質數，如果將任何大於11的這樣的質數乘以3304 即可構造一個史密斯數。他們也證明「任何完全由0和1組成的質數必有某倍數是史密斯數」。

   3、Wayne McDonald 證明史密斯數有無窮多個。

五、卡布列克數

1.何謂卡布列克(Die R. Kaprekar,印度數學家,1905-1986?)數---

[定義:]在 1949 年時, Kaprekar 發現 6174 滿足下列性質:

(1)給一個四位數,其每個數字皆相異(即 abcd, 其中 a<b<c<d);

(2)由此相異的四個數字構成最大和最小的數,令分別為 A, B;

(3)試求 A-B 的值。如果此值是 6174,則停止;若不是,繼續 (2) 的做法,直到出現 6174 為止。

這個四位數稱為「Kaprekar 數」。範例說明:

例 1.給一個四位數 1746, 則 A=7641, B=1467, 且 A-B=6174.

例 2.給一個四位數 5324, 則

步驟 (1) A=5432, B=2345, 且 A-B=3087;

步驟 (2) A=8730, B=0378, 且 A-B=8352;

步驟 (3) A=8532, B=2358, 且 A-B=6174;

練習、請檢驗 5644, 7652.

問題 1、能否證明所有四位數中除了 1111, 2222, 3333, 4444, 5555,6666, 7777, 8888, 9999 外都是 Kaprekar 數? % 已於 1978 年由Wissenschaft, Erstausgabe 解決。

問題 2、其它位數是否有類似情形?

2.卡布列克怪數是類似 55 及 2223 這樣的二數,使得55 =3025=(30+25) 與 2223 =4,941,729=(494+1729) 成立,因此,一個正整數 k為卡布列克怪數時需滿足下列性質之一:

（1）當 k  為一個 2n位數時,把前 n位數當作一個數加上這個數的後面n 位數,它們之和的平方正好等於 k 。

（2）當 k  為一個 2n+1 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後面

n+1位數,它們之和的平方正好等於這個k 。

這是 Kaprekar 於 1980 年發表在 Journal of Recreational Arithmetic。試問 k  是四位數中有那些卡布列克怪數k?(能否找出所有卡布列克怪數?)

問題：試證六位卡布列克怪數只有 181819, 818181.

六、貝林卓米克 (palindromic) 數:

 一正整數 由左至右的數字排列恰好是由右至左的數字排列,稱為貝林卓米克 (palindromic) 數,例如: 9,9559,4078704等。試找出所有偶數位數的貝林卓米克完全平方數。(如:831,775,153,121,251,039,203,514 =691,849,905,349,880,612,384,525,525,483,216,088,943,509,948,196 四十八位數)

七、冰雹問題(3n+1 problem)

任給一個正整數,依下列方式操作:

(1)若此數為偶數,則將此數除以 2;

(2)若此數為奇數,則將此數乘以3再加上1。

依上述操作方式繼續下去,最後的結果必為4-2-1。目前尚未解決此問題。

『練習』:仿照上面的做法,請檢驗 37,44.

八、196 問題

(1)給一個三位數(設 abc);

(2)構造一個新數為cba,即將該數的數字反過來排列;

(3)試求abc+cba 的值。如果此值是貝林卓米克(palindromic) 數,則停止;若不是,繼續 (2) 的做法,直到出現貝林卓米克 (palindromic) 數為止。

範例說明:

例 1.給一個數49,則

第一次和:49+94=143,此值不是貝林卓米克數;

第二次和:143+341=484,此值是貝林卓米克數。

例 2.給一個數88,則

第一次和:88+88=176,此值不是貝林卓米克數;

第二次和:176+671=847,此值不是貝林卓米克數;

第三次和:847+748=1595,此值不是貝林卓米克數;

第四次和:1595+5951=7546,此值不是貝林卓米克數;

第五次和:7546+6457=14003,此值不是貝林卓米克數;

第六次和:14003+30041=44044,此值是貝林卓米克數。

九、Automorphic 數

為一個 Automorphic 數的定義是 的右邊後面位數恰好是 .

例如:1,5,6,25 =625,76,376,625,9376,…等。

十、Trimorphic 數

 為一個 trimorphic 數的定義是 的右邊後面位數恰好是 .

例如:1,4,5,6,9,24,25,49,51,75,76,99,125,249,251,375,376,…等。

十一、經濟數(Economical Numbers)

設 NOD(n) 表示正整數 n中相異數字的個數, 且NODPF(n)表示正整數n 的標準分解式中相異質數的個數,當NOD(n) > NODPF(n)時,則n 稱為「經濟數」。例如:125=5 .

十二、快樂數(Happy Numbers)

如果一個正整數n的數字之平方和m是1,則停止;如不是,重覆前面的做法直至1 出現,這樣的n 稱為「快樂數」。

例如: 7 49 97 130 10 1, 所以 7 是快樂數,但4不是快樂數。

問題 1、能否找出所有快樂數在正整數中的密度?大約為 。

問題 2、在連續兩個快樂數之間隔的數目可以任意多?

問題 3、能找出多大的快樂數?

十三、循環小數

    如果將 化成小數，即 ，我們發現其循環節是六位數且前三位數與後三位數之和正好是三位數： 。

問題：設 為質數，如果 化成小數，其循環節是 位數且前 位數與後 位數之和正好是 位數 ：即 ,其中 為 位數且 ,試求滿足這樣條件的所有可能 值。

十四、數感(Numeracy)

附錄:課程手冊國中教案格式

•  講授  60%
  
•  上台演示  40%
  
•  討論  0%
  

•  指定作業  40%
  
•  出席  10%
  
•  教案設計  30%
  
•  上台演示練習  20%
  

※請遵守智慧財產權觀念、不得不法影印※
※Please abide by IPR, do not copy legally※

• 主要書目 Text book1:
  書名 book：自製教材
• 參考書目 Reference book1:
  書名 book：自製教材